Pour une fonction f: R → R {displaystyle f:mathbb {R} To mathbb {R}}, cette deuxième définition indique simplement que pour chaque z {displaystyle z} strictement entre x {displaystyle x} et y {displaystyle y}, le point (z, f (z)) {displaystyle (z, f (z))} sur le graphique de f {displaystyle f} est au-dessus de la ligne droite joignant les points (x, f (x)) {displaystyle (x, f (x))} et (y, f (y)) {displaystyle (y, f (y))}. En dépit de cela, les fonctions existent qui sont strictement convexes mais ne sont pas fortement convexes pour n`importe quel m > 0 (voir exemple ci-dessous). En particulier, si f ′ (c) = 0, alors c est un minimum global de f (x). Le fait qu`une telle fonction de production augmente signifie que plus d`entrée génère plus de production. Par exemple, une fonction mesurable à valeur réelle de Lebesgue qui est médiane-convexe est convexe: il s`agit d`un théorème de Sierde. Par exemple, pour une fonction linéaire, chaque point satisfait à la définition alternative. La somme de deux fonctions concaves est elle-même concave et est donc le minimum pointwise de deux fonctions concaves, i. La distinction entre convexe, strictement convexe, et fortement convexe peut être subtile au premier regard. Cela peut être accompli avec une fonction quartique. Si f est une fonction convexe d`une variable réelle, et f (0) ≤ 0, alors f est superadditif sur les réals positifs.

Des exemples d`une telle fonction pour une entreprise qui utilise une seule entrée sont indiqués dans les deux prochains chiffres. Voir note de bas de page. Pour une fonction deux fois différentiable d`une seule variable, si le deuxième dérivé est toujours supérieur ou égal à zéro pour son domaine entier alors la fonction est convexe. Les économistes supposent souvent que la fonction de production d`une entreprise est en augmentation et concave. Toutefois, une fonction dont les jeux de sous-niveau sont des ensembles convexes peut échouer à être une fonction convexe. Selon cette définition alternative, f “n`a pas à changer de signe à c. Les notions de concavité et de convexité sont importantes dans la théorie de l`optimisation parce que, comme nous le verrons, une condition simple est suffisante (aussi bien que nécessaire) pour un maximiseur d`une fonction concave différable et pour un minimiseur d`une fonction convexe différable . En mathématiques, une fonction concave est le négatif d`une fonction convexe. Par exemple, la deuxième dérivée de f (x) = x4 est f ′ ′ (x) = 12X2, qui est zéro pour x = 0, mais x4 est strictement convexe. Si le domaine est juste la vraie ligne, Then ♦ 2 f (x) {displaystyle nabla ^ {2} f (x)} est juste le deuxième dérivé f “(x) {displaystyle f` ` (x)}, donc la condition devient f” (x) ≥ m {displaystyle f` ` (x) geq m}.

Si une fonction est différable et convexe alors elle est également continuellement différable. Le résultat suivant montre qu`une transformation concave non décroissante d`une fonction concave est concave. Les points où les changements de concavité (entre concave et convexe) sont des points d`inflexion. Remarque: le point où il change est appelé un point d`inflexion. Tout minimum local d`une fonction convexe est également un minimum global. Précisément, chaque point où la dérivée d`une fonction de différenciation concave est zéro est un maximiseur de la fonction, et chaque point à laquelle la dérivée d`une fonction de différenciation convable est zéro est un minimiseur de la fonction. Dans la théorie des probabilités, une fonction convexe appliquée à la valeur attendue d`une variable aléatoire est toujours inférieure ou égale à la valeur attendue de la fonction convexe de la variable aléatoire. Dans le jargon économique, il y a des «retours non croissants» à l`intrant, ou, étant donné que l`entreprise utilise une seule entrée, «rendements non croissants à l`échelle». Par exemple, une fonction (strictement) convexe sur un ensemble ouvert n`a pas plus d`un minimum. Les exemples bien connus de fonctions convexes incluent la fonction quadratique x 2 {displaystyle x ^ {2}} et la fonction exponentielle e x {displaystyle e ^ {x}}.

Qu`en est-il quand la pente reste la même (ligne droite)? Et il n`est pas strictement concave vers le bas. En mathématiques, une fonction à valeur réelle définie sur un intervalle n-dimensionnel est appelée convexe (ou convexe vers le bas ou concave vers le haut) si le segment de ligne entre deux points sur le graphique de la fonction se trouve au-dessus ou sur le graphique, dans un espace euclidien (ou plus généralement un espace vectoriel) d`au moins deux dimensions.

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